1. Betrachte die Ebene E durch P = (3, 2, -1) mit den Richtungsvektoren u→ = (0, 0, 2), v→ = (-2, 4, 1).
    Die Ebene liegt parallel zur z-Achse.
    • Probiere aus und begründe: Wenn einer der Richtungsvektoren parallel zur z-Achse liegt, dann liegt auch die Ebene E parallel zur z-Achse. Notiere eigene Beispiele.
    • Bestimme die Gleichung einer Ebene E, die parallel zur x-Achse verläuft. Erläutere dein Vorgehen.
    • Bestimme die Gleichung einer Ebene E, die parallel zur y-Achse verläuft. Erläutere dein Vorgehen.
  2. Probiere aus und begründe: Wenn beide Richtungsvektoren einer Ebene E parallel zu je einer anderen Koordinatenachse liegen, dann liegt die Ebene parallel zu der betreffenden Koordinatenebene. Gib Beispiele an, erläutere dein Vorgehen:
    • E liegt parallel zur x1x2 - Ebene
    • E liegt parallel zur x1x3 - Ebene
    • E liegt parallel zur x2x3 - Ebene
  3. Finde Beispiele und begründe:
    • Wenn genau einer der Richtungsvektoren parallel zu einer Koordinatenachse liegt, hat die Ebene zwei Spurpunkte und es gibt drei Spurgeraden.
    • Wenn beide Richtungsvektoren parallel zu je einer Koordinatenachse liegen, dann gibt es nur einen Spurpunkt und zwei Spurgeraden.
  4. * Betrachte die Ebene E durch P = (2, 3, 4) mit den Richtungsvektoren u→ = (2, 1, 0), v→= (3, 2, 0). E ist parallel zur x1x2 - Ebene.
      Überprüfe und begründe:
    • Keiner der Richtungsvektoren u→ und v→ ist parallel zur x1 - Achse oder x2 - Achse. Da E parallel x1x2 liegt, müssen die Geraden durch P mit den Richtungsvektoren u→ bzw. v→ windschief zur x3 - Achse sein
      • .
    • Der Ortsvektor der Ebene bestimmt den Abstand von der x1x2 - Ebene.
    • E ist parallel zur x1x2 - Ebene, wenn die Richtungsvektoren u→ und v→ in der 3. Koordinate den Wert 0 haben.
  5. * Nutze das Wissen aus der vorangegangen Aufgabe und bestimme:
    • Eine Ebene E parallel zur zur x1x3 - Ebene, wobei die Richtungsvektoren zu keiner Koordinatenachse parallel ist.
    • Eine Ebene E parallel zur zur x2x3 - Ebene, , wobei die Richtungsvektoren zu keiner Koordinatenachse parallel ist.
  6. * Betrachte die Ebene E durch den Punkt P = (0,0,0) mit den Richtungsvektoren u→ = (-4, 3, -2), v→= (-3, 5, -1).
    • Begründe: Wenn der Punkt (0, 0, 0) in der Ebene E liegt, dann ist dieser Punkt auch der Spurpunkt für jede Koordinatenebene. Die zugehörigen Spurgeraden können nicht mit Hilfe der Spurpunkte bestimmt werden.
    • Kontrolliere: Es gibt dennoch eindeutige Spurgeraden.
      Überprüfe und begründe am Beispiel: Der Richtungsvektor der jeweiligen Spurgeraden muss eine Linearkombination aus den Richtungsvektoren der Ebene sein und er muss in einer Koordinate den Wert 0 haben. Bestimme jeweils einen Richtungsvektor. Nutze dazu die Gleichung 0 = s ∙ u3 + t ∙ v3 bzw. 0 = s ∙ u2 + t ∙ v2 oder 0 = s ∙ u1 + t ∙ v1.
  7. * Überprüfe:
    • Wenn die Vektoren (u1,u2, 0) und (v1,v2, 0) kollinear sind, dann liegt die x3- Achse in der Ebene E.
    • Wenn die Vektoren (u1,0, u3) und (v1,0, v3) kollinear sind, dann liegt die x2- Achse in der Ebene E.
    • Wenn die Vektoren (0, u2, u3) und (0, v2, v3) kollinear sind, dann liegt die x1- Achse in der Ebene E.

Allgemeine Tipps & Klicks

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mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, Exponentialfunktion ex: exp(x), Betragsfunktion |x|: abs(x), Wuerzelfunktion sqrt(x), abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']

zu: Spurpunkte und Spurgeraden von Ebenen in besonderer Lage

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