Das Applet zeigt die orientierte Fläche zwischen dem Graph f und der x-Achse auf dem Intervall [a,b], also die Summe der Flächen oberhalb der x-Achse (positiver Wert) und der Flächen unterhalb der x-Achse (negativer Wert). Die Summe dieser Flächen ist die Flächenbilanz
    Das Integral einer Funktion f auf einem Intervall [a, b] berechnet sich aus F(b)−F(b), wobei F die Integralfunktion zu f ist.

    ∫ a b :=F(b)−F(a).

    Das Integral auf einem Intervall entspricht der Flächenbilanz auf diesem Intervall.

    Die absolute Fläche erhält man, in dem man von allen negativ orientierten Flächen den Betrag nimmt.

  1. Betrachte die Funktion f(x)=14x.
    • Bestimme die Integralfunktion zu f(x).
    • Berechne das Integral auf den Intervallen I = [-4, 0], I = [0, 4] und I = [-4, 4].

      Berechne die orientierten Flächen mithilfe der Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken und vergleiche mit dem Integral.

      Berechne auch die absoluten Flächen.

  2. Bestimme zu nachstehenden Funktionen jeweils die Integralfunktion. Berechne die Flächenbilanz und die Fläche auf dem angegebenen Intervall.
    • f(x)= −x2+4, I=[-2,2]
    • f(x)=x2−4, I=[-2,2]
    • f(x)= 13x3−3x, I=[-3,3]
    • f(x)= x3−4x2−3x, I=[-3,3]
    • f(x)= 32x3 −92x2, I=[0,4]
    • f(x)= (x−3)2 −14x2, I=[0,8]
  3. Betrachte die Funktion f(x)=3⋅sin(x) . Bestimme das Integral.
    • Berechne die Flächenbilanz und die Fläche auf de Intervallen I = [-π,π] und [-2π,2π]; π ≈ 3.14.
    • Bestimme Intervalle, auf denen die Flächenbilanz 0 ist.
  4. Betrachte f(x)=3⋅cos(x). Bestimme das Integral. Bestimme Intervalle auf denen die Flächenbilanz 0 ist.

Allgemeine Tipps & Klicks

Was? Wie? Wann?
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Einheiten x- oder y-Achse strecken /stauchen, SHIFT+ Mauszeiger auf die Achse und nach rechts oder links ziehen Eine Achse so gestreckt / gestaucht werden.
Refresh (löscht Spuren (Traces)) STRG+SHIFT+F Ansicht soll aufgefrischt, Spuren gelöscht werden.
getestete Browser
Chrome (ab Version 50) Fullscreen funktioniert manchmal nicht richtig (Fenster zu weit)
Firefox (ab Version 46) ist manchmal etwas langsam bei der Auswertung von Nutzeraktionen im Graphikteil (insb. beim Einsatz von Tabellen)
Microsoft Edge (ab Version 126) ok
Opera one (ab Version 111) ok
Eingabefelder
mathematische Symbole Rechtsklick auf das α im Eingabefeld zeigt ein Kontextmenü mit mathematischen Symbolen
mathematische Funktionen Potenzen wie üblich mit ˆ, Exponentialfunktion ex: exp(x), Betragsfunktion |x|: abs(x), Wuerzelfunktion sqrt(x), abschnittsweise definierte Funktionen mit IF['Bedingung', 'Term A', 'Term B']
Überprüfen von Eingaben Eingabe mit Return + Klick irgendwo hin abschließen

zu: Flächenbilanz und Fläche einer Funktion

Das Intervall [a,b] wird durch die Punkte a und b eingestellt. Diese können auf der x-Achse verschoben oder über die Parameter a und b bestimmt werden.

Bei Eingabe einer neuen Funktion f werden a und b default auf die kleinste bzw. größte Nullstelle im Intervall [-10,10] gesetzt. Wenn nur eine Nullstelle existiert, wird a links davon (-1), b rechts davon (+1) gesetzt. Existiert keine Nullstelle, wird a = -1 und b = +1 gesetzt.

Aktivieren der Checkbox "Fläche zwischen Graph und x-Achse zeigen" zeigt die absolute Fläche.